「地推数列求解」数列递推公式大全

admin 2023-03-29 06:17:06 767

今天给各位分享地推数列求解的知识，其中也会对数列递推公式大全进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

本文目录一览：

1、数列递推公式求通项公式的问题
2、如何利用特征根法来求解递推数列的通项公式？
3、高中数学数列递推常用（考）方法，求详细
4、用递推公式求通项的六种方法
5、数列{An}满足地推关系,An=A（n-2）+2,且A1=1,A2=4,求{An}前n项和

数列递推公式求通项公式的问题

形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：

a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)

简单地说就是在递推中令an=x

代入

a(n+1)也等于x

然后构造数列.

（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）

令x=(ax+b)/(cx+d)

即

cx2+(d-a)x-b=0

令此方程的两个根为x1，x2，

若x1=x2

则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p

其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

若x1≠x2

则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)

其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

【注】形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不为0的分式递推式都可用不动点法求。

让a(n+1)=an=x，

代入化为关于x的二次方程

(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出

(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出

若无解，就只有再找其他方法了。

并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。

例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项

【解】a(n+1)=(2an+8)/an，

a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x

x=2+8/x

x^2-2x-8=0

x1=-2,x2=4

{(an-4)/(an+2)}为等比数列

令(an-4)/(an+2)=bn

b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]

=-1/2

b(n+1)=(-1/2)bn

b1=-1/2

bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)

an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n=1

例2：A1=1,A2=1,A(n+2)=

5A（n+1）-6An，

【解】特征方程为：y²=

5y-6

那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3

于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An]

(1)

A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An]

(2)

所以，A（n+1）-3A（n）=

(3)

A（n+1）-2A（n）=

(n-1)

(4)

消元消去A（n+1），就是An,An=-

(n-1)

如何利用特征根法来求解递推数列的通项公式？

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。特征根法在求递推数列通项中的运用，各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题需要用到。

高中数学数列递推常用（考）方法，求详细

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一

归纳—猜想—证明

由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．

类型二

“逐差法”和“积商法”

(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．

(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

类型三

构造法

递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

类型四

可转化为类型三求通项

(1)“对数法”转化为类型三．

递推式为an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三．

(2)“倒数法”转化为类型三．

递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．

若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三．

若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．

类型五

递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)

可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)�6�1nan,则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．

从而bn+1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2�6�11�6�1a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．

总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．

类型一�归纳—猜想—证明

由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．

�例1�设数列｛an｝是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=______________．(2000年全国数学卷第15题)

解：将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．

��由于an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an．

��因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略．

类型二�“逐差法”和“积商法”

(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．

例2�已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),证明：an=(3n-1)/2．

(2003年全国数学卷文科第19题)

证明：由已知得an-an-1=3n-1，故

an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3��n-2�+…+3+1=3n-1/2．

所以得证．

(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a��n�/an-1�=f(n－1)�，�且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

例3�(同例1)(2000年全国数学卷第15题)

另解：将(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n�=1,2,3,…)化简，得(n+1)an+1=nan，即

an+1/an=n/(n+1)．�

故an=an/an-1�6�1an-1/an-2�6�1an-2/an-3�6�1…�6�1a2/a1�=n-1/n�6�1n-2/n-1�6�1n-3/n-2�6�1 … �6�11/2�=1/n．

类型三�构造法

递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

例4�(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)

另解：由an=3n-1+an-1得3�6�1an/3n=an-1/3n-1+1．

令bn＝an/3n，则有

bn=1/3bn-1+1/3． (*)

设bn+x=1/3(bn-1+x)，则bn=1/3bn-1+1/3x-x，与(*)式比较，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)．因此数列｛bn-1/2｝是首项为b1-1=a1/3=-1/6，公比为1/3的等比数列，所以bn-1/2=-1/6�6�1(1/3)n-1，即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．

例5�数列｛an｝中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an．�

解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，则

an+1=4an+3nx+3y-x,与已知an+1=4an+3n+1比较，得

3x=3，所以

x=1,

3y-x=1， y=(2/3)．

故数列｛an+n+(2/3)｝是首项为a1+1+(2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an+n+(2/3)=(8/3)�6�14n-1,即

an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3)．

另解：由已知可得当n≥2时，an=4an-1+3(n-1)+1，与已知关系式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1-an+1=4(an-an-1+1)，因此数列｛an+1-an+1｝是首项为a2-a1+1=8-1+1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3)．

类型四�可转化为

类型三求通项

(1)“对数法”转化为

类型三．

递推式为an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为

类型三．

例6�已知数列｛an｝中，a1=2,an+1=an2，求an．

解：由an+1=an2＞0，两边取对数得lgan+1=2lgan．令bn=lgan则bn+1=2bn．因此数列｛bn｝是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．

(2)“倒数法”转化为

类型三．

递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．

若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为

类型三．

若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．

例7�在数列｛an｝中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通项an．

解：设an+1+x=y(an+x)/an+3，则an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，结合已知递推式得

y-x=3, 所以

x=1,

y-3=1， y=4，

则有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，则bn+1=4bn/bn+2，求倒数得1/bn+1=1/2�6�11/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．

因此数列｛1/bn-1/2｝是首项为1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比为1/2的等比数列．

故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得an．

类型五�递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)

从而bn+1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2�6�11�6�1a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．

例8�(同例1)(2000年全国数学卷第15题)

另解：将(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…)，化简得(n+1)an+1=nan,令nan=bn，则bn+1=bn，所以数列｛bn｝是常数列，由于首项b1=1�6�1a1=1，所以bn=1,即nan=1，故an=1/n．

用递推公式求通项的六种方法

用递推公式求通项的六种方法：等差数列和等比数列有通项公式；累加法；累乘法；构造法；错位相减法。

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子表示出来，称作该数列的通项公式。

累加法：用于递推公式为an+1=an+f(n)，且f(n)可以求和。

累乘法：用于递推公式为an+1/an=f(n)且f(n)可求积。

构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。

错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n。

用迭代法：此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．

数列{An}满足地推关系,An=A（n-2）+2,且A1=1,A2=4,求{An}前n项和

An=A(n-2)+2

A1=1,A2=4

则当n为奇数时,An=n

n为偶数时,An=2+n

An的通项公式为An=n+1+(-1)^n

n为偶数时,

Sn=n^2/2+3n/2

n为奇数时,

Sn=n^2/2+3n/2-1

所以Sn=n^2/2+3n/2-0.5-0.5*(-1)^(n-1)

地推数列求解的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于数列递推公式大全、地推数列求解的信息别忘了在本站进行查找喔。

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