「java实现共轭梯度算法」用共轭梯度法求函数极值例题
今天给各位分享java实现共轭梯度算法的知识，其中也会对用共轭梯度法求函数极值例题进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！
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共轭梯度法的算法介绍
又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组 Ax=ƒ, (1)式中A为n阶矩阵，x和ƒ为n维列向量,当A对称正定时,可以证明求(1)的解X*和求二次泛函
的极小值问题是等价的。此处(x,у)表示向量x和у的内积。由此，给定了初始向量x（0），按某一方向去求(2)式取极小值的点x(1),就得到下一个迭代值x(2),再由x(2)出发，求x(3)等等，这样来逼近x*。若取求极小值的方向为F在 x(k=1,2,…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在 x(k-1)处的梯度方向r(k-1)和这一步的修正方向p(k-1)所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向p(k),即求极小值的方向p（其第一步仍取负梯度方向）。计算公式为
再逐次计算(k=1,2,…)。可以证明当i≠j时，
从而平p(1),p(2)形成一共轭向量组;r(0),r(1),…形成一正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话，至多 n次迭代就可得到(1)的精确解。然而在实际计算中,一般都有舍入误差，所以r(0),r(1),…并不真正互相正交，而尣(0)尣(1),…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。
近来在解方程组(1)时,常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。其方法是选取一对称正定矩阵B并进行三角分解，得B=LLT。将方程组(1)化为 hу=b, (3)
此处y=lTx,b=l-1ƒ,h=l-1Al-T,而
再对(3)用共轭梯度法，计算公式为
k=0,1,2,…)适当选取B，当B很接近A时，h的条件数较之A大大减小,从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代(SSOR)，强隐式迭代(SIP)等,这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。
无约束最优化(二) 共轭方向法与共轭梯度法
之前文章 最速下降法、Newton法、修正Newton法 介绍的最速下降法存在锯齿现象，Newton法需要计算目标函数的二阶导数。接下来介绍的 共轭方向法 是介于最速下降法和Newton法之间的一种方法，它克服了最速下降法的锯齿现象，从而提高了收敛速度；它的迭代公式也比较简单，不必计算目标函数的二阶导数，与Newton法相比，减少了计算量和存储量。它是比较实用而有效的最优化方法。
我们先将其在正定二次函数 上研究，然后再把算法用到更一般的目标函数上。首先考虑二维的情形。
任选初始点 ，沿它的某个下降方向，例如向量 的方向，作直线搜索，如上图所示。由下面这个定理：
定理 ：设目标函数 具有一阶连续偏导数，若 ,则 。
知 。如果按照最速下降法选择的就是负梯度方向为搜索方向(也就是 方向)，那么将要发生锯齿现象。于是一个设想是，干脆选择下一个迭代的搜索方向 就从 直指极小点 ，也就是找到上图所示的 方向。
因为 从 直指极小点 ,所以 可以表示为：
其中 是最优步长因子。显然，当 时， 。到这里，我们还有一个已知条件没用，就是目标函数为二次正定，所以我们对目标函数求导，得到：
因为 是极小点，所以有:
将 带入上述方程式，有：
上式两边同时左乘 ，并注意到 和 ，得到 。这就是为使 直指极小点 ， 所必须满足的条件。并且我们将两个向量 和 称为 共轭向量 或称 和 是 共轭方向 。
由上面共轭梯度法那张图可以设：
上式两边同时左乘 ,得：
由此解出：
代回 得：
从而求到了 的方向。
归纳一下，对于正定二元二次函数，从任意初始点 出发，沿任意下降方向 做直线搜索得到 再从 出发，沿 的共轭方向 作直线搜索，所得到的 必是极小点 。到目前为止的共轭梯度法依旧是假设了目标函数是二次正定矩阵。
上面的结果可以推广到 维空间中，即在 维空间中，可以找出 个互相共轭的方向，对于 元正定二次函数从任意初始点出发，顺次沿着这 个共轭方向最多作 次直线搜索，就可以求到目标函数的极小点。
对于 元正定二次目标函数，如果从任意初始点出发经过 有限次迭代 就能够求到极小点，那么称这种算法具有 二次终止性 。例如，Newton法对于二次函数只须经过一次迭代就可以求到极小点，因此是二次终止的；而最速下降法就不具有二次终止性。共轭方向法（如共轭梯度法、拟Newton法等）也是二次终止的。
一般说来，具有二次终止性的算法，在用于一般函数时，收敛速度是较快的。
定义：设 是 对称正定矩阵。若 维向量空间中的非零向量 满足 ， 则称 是 共轭向量或称向量 是 共轭的（简称共轭）。
当 (单位矩阵)时 变为 ， 。即向量 互相正交 。由此看到，“正交”是“共轭”的一种特殊情形，或说，“共轭”是“正交”的推广。
下面介绍几个定理：
定理 ：若非零向量 是 共轭的，则线性无关。
推论 ：在 维向量空间中， 非零的共轭向量的个数不超过 。
定义 设 是 中的线性无关向量， 。那么形式为：
的向量构成的集合，记为 。称为由点 和向量 所生成的 线性流形 。
共轭方向法的理论基础是下面的定理。
定理 假设
(1) Q为 对称正定矩阵;
(2) 非零向量 是 共轭向量;
(3) 对二次目标函数 顺次进行 次直线搜索:
其中 是任意选定的初始点，则有：
i) ， ;
ii) 是二次函数 在线性流形 上的极小点。
这个定理看来较繁，但可借用直观的几何图形来帮助理解。 ， 的情形为例，如图示。
和 是Q共轭向量，张成了二维空间 ，这是过坐标原点的一个平面。 现在，过点 沿 方向作直线搜索得到 ，再过点 沿 方向作直线搜索得到 过点 由向量 和 张成的平面就是线性流形 。它是 的平行平面。
定理的论断是，最后一个迭代点 处的梯度 必与 和 垂直。并且 是三元二次目标函数 在线性流形 (即过 由 和 张成的平面)上的极小点。
共轭方向法算法的大体流程 就是：选定初始点 和下降方向向量 ，做直线搜索 。提供的梯度方向 使得 ， 。提供共轭方向的方法有多种。不同的提供方法将对应不同的共轭方法。每种方法也因产生共轭方向的特点而得名。
那么这里做直线搜索 中的 是如何确定的呢？这里我们先回顾一下在最速下降法中是如何计算这个 的。最速下降法：
依据定理 设目标函数 具有一阶连续偏导数，若 ,则 。，我们可以得到 。由此有：
由此，可求解出 :
这里还可以采用另外一种种方式计算 ，下面对另外一种方式进行公式推导：
由 ，用 左乘上式两边，然后再同时加上 ，利用 能够得到：
左乘 有
由此解出：
在最速下降法中 ，在共轭方向法中 。
在共轭方向法中，如果初始共轭向量 恰好取为初始点 处的负梯度 ，而其余共轭向量 由第 个迭代点 处的负梯度 与已经得到的共轭向量 的线性组合来确定，那么这个共轭方向法就称为 共轭梯度法 。
针对目标函数是正定二次函数来讨论：
(1) 第一个迭代点的获得 ：
选定初始点 ，设 (否则迭代终止)，因此 。取 ，（以下用 表示 ）从 出发沿 方向做直线搜索，得到第1个迭代点 ，其中 可由下式确定：
显然
(2) 第二个迭代点的获得 ：
设 ，因此 。由 知 与 线性无关。取 其中 是使 与 共轭的待定系数，令：
由此解出
并代回确定 ，并获得第2个迭代点。
由公式 可以求得 ，带入公式 可进一步优化得到：
(3) 第三个迭代点的获得 ：
设 ，因此 。由 知 与 线性无关。取 其中 是使 与 共轭的待定系数，令：
由此解出
并代回确定 ，并获得第3个迭代点。
其中
上述过程仅表明 与 ， 与 共轭，现在问， 与 也共轭吗？
(4) 第 个迭代点的获得 ：
由 知 与 线性无关。取 其中 是使 与 共轭的待定系数，令：
由此解出
并代回确定 ，并获得第k+1个迭代点。
其中
以上就是共轭梯度法得核心内容。
为使共轭梯度算法也适用于非二次函数，需要消去算法中的 对于正定二次函数，有 代入到 中，得：
此式中已不再出现矩阵 ，将 两端转置运算，并同时右乘 得：
将共轭方向法中的定理带入得到 ，由直线搜索的性质有 ，带入上式有 。此外：
带入 ，得到：
此式称为Fletcher－Reeves公式(1964年)。
谁能帮我编一个线性方程Ax=b的共轭梯度法的程序？谢谢了
function [x,n]= conjgrad (A,b,x0) %共轭梯度法求线性方程组Ax=b的解
r1 = b-A*x0;
p = r1;
n = 0;
for i=1:rank(A) %以下过程可参考算法流程
if(dot(p,A*p) 1.0e-50) %循环结束条件
break;
end
alpha = dot(r1,r1)/dot(p,A*p);
x = x0+ alpha*p;
r2 = r1- alpha*A*p;
if(r2 1.0e-50) %循环结束条件
break;
end
belta = dot(r2,r2)/dot(r1,r1);
p = r2+belta*p;
n = n + 1;
end
function [x,n]= preconjgrad (A,b,x0,M,eps) %预处理共轭梯度法求线性方程组Ax=b的解
if nargin == 4
eps = 1.0e-6;
end
r1 = b-A*x0;
iM = inv(M);
z1 = iM*r1;
p = z1;
n = 0;
tol= 1;
while tol=eps
alpha = dot(r1,z1)/dot(p,A*p);
x = x0 + alpha*p;
r2 = r1 - alpha*A*p;
z2 = iM*r2;
belta = dot(r2,z2)/dot(r1,z1);
p = z2+belta*p;
n = n + 1;
tol = norm(x-x0);
x0 = x; %更新迭代值
r1 = r2;
z1 = z2;
end
共轭梯度法是什么？
共轭梯度法指的是：
共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点。
共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭梯度法的提出和应用：
共轭梯度法最早是由Hestenes和Stiefle提出来的，在这个基础上，Fletcher和Reeves 首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，现在共轭梯度法已经广泛地应用于实际问题中。
关于java实现共轭梯度算法和用共轭梯度法求函数极值例题的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站。